Unidad 1

Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias

 

Muchos problemas físicos conducen a modelos matemáticos que expresan la tasa de cambio de la magnitud física de interés a través de una ecuación diferencial. Por ejemplo, en el marco de la mecánica clásica, la ecuación de movimiento de una partícula, dada por la segunda ley de Newton, es una ecuación diferencial de segundo orden para la posición. En el contexto más abstracto de la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, la ecuación de movimiento de un sistema es descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran a cierta función de las coordenadas e impulsos generalizados: el hamiltoniano del sistema. El objetivo de esta unidad es considerar métodos numéricos efectivos para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales. Para ello comenzamos discutiendo los métodos clásicos de integración de ecuaciones diferenciales de primer orden: métodos de un paso de Runge-Kutta y sus variantes, métodos multipaso y métodos de extrapolación, haciendo especial hincapié en el control de error a través de un paso variable. Posteriormente discutimos la implementación de los mismos en la formulación newtoniana de la mecánica clásica, lo que conduce a las variantes del método de Verlet o leapfrog. Finalmente discutimos una clase importante de algoritmos, conocidos como métodos simplécticos, que son particularmente fructíferos para estudiar la evolución de un sistema conservativo a muy largo plazo.

Clases

  • 02/10/09: Características generales de los métodos de un paso: error de truncamiento local y consistencia, error de truncamiento global y convergencia.
  • 07/10/09: Estabilidad numérica de los métodos de un paso.
  • 09/10/09: Ecuaciones diferenciales stiff.
  • 14/10/09: Métodos que controlan el error.
  • 16/10/09: Métodos de integración para las ecuaciones de movimiento en la formulación newtoniana: Verlet y sus derivados.
  • 21/10/09: Repaso de la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica.
  • 23/10/09: Métodos simplécticos de integración para problemas hamiltonianos.
  • 28/10/09: Aplicación de los métodos de integración al problema del péndulo plano.

Problemas complementarios

Bibliografía

  • R. Bulirsch J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer.
  • Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Numerical Mathematics, Springer.
  • Michael T Heath, Scientific Computing, McGraw-Hill.
  • Harvey Gould, Jan Tobochnik, Wolfgang Christian, An Introduction to Computer Simulation Methods: Applications to Physical Systems, 3rd Edition, Addison Wesley.

© 2009. Inspirado en los diseños de Free CSS Templates.